Известные люди

»

Морис Эшер

Морис Эшер родился в городе Лёвардене, административном центре нидерландской периферии Фрисландия, в семье инженера. В 1903 году семейство переехала в Арнхем, где мальчуган некоторое время учился столярному делу и музыке. С 1912 по 1918 годы Морис учился в средней школе. Хотя с раннего возраста он выказывал способности к рисованию, его успехи в школе были сильно посредственными.

В 1919 году Эшер поступает в Школу архитектуры и декоративных искусств в городе Гарлеме. Его учителем там был художник Самуэль де Мескита, оказавший на молодого человека огромное воздействие (Эшер поддерживал дружеские отношения с Мескитой вплоть до 1944 года, когда Мескита, еврей по происхождению, был сообща с семьёй уничтожен нацистами).

В начале 1920-х Эшер зачастую путешествует в Италию. Именно там он впервой встречается с Йеттой Умикер, которая в 1924 году становится его женой. Чета жила в Риме до 1935 года, когда нахождение в Италии, под контролем режима Муссолини, стало для них трудновыносимым. Затем Эшеры перехали в Шато-дО (Швейцария).

В январе 1941 года, следом начала Второй важный войны, Эшеры возвращаются в Нидерланды. С 1940-х по 1970-е они жили в голландском городе Барн (Baarn). В июле 1969 года Эшер создает свою последнюю гравюру на дереве Змеи.

Эшер скончался 27 марта 1972 года в своем доме в Ларене, на севере Нидерландов.

Творчество

Для сюжетов классических произведений Эшера (Рисующие руки, Метаморфозы, День и ночь, Рептилии, Встреча, Дом с лестницей и т. д.) характерно остроумное осмысление логических и пластических парадоксов. В сочетании с виртуозной техникой это производит сильнейшее ощущение. Многие графические и концептуальные находки Эшера вошли в цифра символов XX века и позднее неоднократно воспроизводились или цитировались другими художниками.

Одним из самых выдающихся аспектов творчества Эшера является изображение метаморфоз, фигурирующих в разных формах во множестве работ. Художник досконально исследует постепенность перехода от одной геометрической фигуры к иной, посредством незначительных изменений в очертаниях. Кроме того, Эшер неоднократно рисовал метаморфозы, происходящие с живыми существами (птицы превращаются у него в рыб и проч.) и более того одушевлял в ходе метаморфоз неодушевлённые предметы, превращая их в живых существ.

Морис Эшер одним из первых стал рисовать в своих мозаичных картинах фракталы. Только через десятилетия учёные стали заниматься изучением свойста этих фигур и с помощью ЭВМ созидать то, что Эшер рисовал вручную.

Математическая составляющая в работах Эшера

При взгляде на любую из мозаик мастера у любого человека возникает подозрение на математическую закономерность. Однако из биографии художника и его собственных воспоминаний нам известно, что он не мог похвастаться законченным математическим образованием. Естественно, предложенное ниже предположение о математически выверенном способе создания гравюр не требует глубоких познаний в математике. Стоит упомянуть следующий отличный факт из жизни художника. Однажды прославленный геометр Г. Кокстер пригласил художника на свою лекцию, посвященную математическому содержанию его гравюр и литографий. К взаимному разочарованию, Морис Эшер не понял без малого ни слова из того, о чем рассказывал Кокстер. Вот что писал об этом сам художник: Я так ни разу и не смог заполучить хорошей оценки по математике. Забавно, что я как снег на голову оказался связанным с этой наукой. Поверьте, в школе я был весьма плохим учеником. И вот ныне математики используют мои рисунки для иллюстрации своих книг. Представьте себе, эти ученые люди принимают меня в свою компанию как потерянного и снова обретенного брата! Они, кажется, не подозревают, что математически я стопроцентно безграмотен.

В этих словах, очевидно, есть доля преувеличения. Все же нам кажется, что творчество Эшера увлекательно математикам не только потому что, что в его работах не возбраняется выявить отголоски конкретных математических результатов. Скорее они вызывают ассоциации с общими математическими идеями.

Именно на содействие в изучении математики и будет сделан упор практического применения нашей работы. С помощью работ Мориса Эшера разрешается втолковать такие математические понятия и термины, изучаемые в школе, как: параллельный перенос, подобие фигур, равновеликие фигуры, периодичность. А так же некоторые понятия не входящие в школьный вектор движения математики. В тот самый список не возбраняется подключить следующие термины: квазипериодичность, инфляция, дефляция, треугольники Робинсона, преобразование дуальности. Во всём вышеописанном нам помогает понять искусство, искусство замечательного и интересного голландского художника Мориса Корнелиуса Эшера.

В предыдущей главе мы выделили основные направления в работах художника. Однако самым интересным с точки зрения математики являются мозаики. Эта глава будет на сто процентов построена на анализе гравюр как раз этой категории. Нам удалось выискать большинство таких работ. Однако большинство из них не получили названия. В главе будет приведено уймище ссылок на пронумерованные работы и чертежи. Все они приведены в приложении.

В предыдущей главе мы коснулись такого аспекта творчества Мориса Эшера, как замощение плоскости или мозаики. В этой же главе мы больше досконально остановимся на этом вопросе. Прежде всего, хотелось бы понять с простым вопросом: что же такое замощение плоскости?

Замощение это покрытие всей плоскости неперекрывающимися фигурами. Вероятно, в первый раз заинтересованность к замощению возник в связи с построением мозаик, орнаментов и других узоров. Известно полно орнаментов, составленных из повторяющихся мотивов. Одно из простейших замощений не возбраняется обрисовать так. Плоскость покрыта параллелограммами, причем все параллелограммы одинаковы. Любой параллелограмм этого замощения не возбраняется принять из первоначального параллелограмма, сдвигая его на вектор пU--тV (векторы U и V определяются ребрами выделенного параллелограмма, n и m целые числа). Следует подметить, что все замощение как целое переходит в себя при сдвиге на вектор U (или V). Это качество не возбраняется схватить в качестве определения: как раз, периодическим замощением с периодами U и V назовем такое замощение, которое переходит в себя при сдвиге на вектор U и на вектор V. Периодические замощения могут быть и очень замысловатыми, некоторые из них крайне красивы. Примером может служить периодическое замощение, придуманное Морисом Эшером (Всадники).

Существуют и интересные непериодические замощения плоскости. В 1974 г. британский математик Роджер Пенроуз открыл квазипериодические замощения плоскости. Свойства этих замощений естественным образом обобщают свойства периодических. Пример такого замощения не возбраняется обрисовать следующим образом. Вся плоскость покрыта ромбами. Между ромбами нет промежутков. Любой ромб замощения с помощью сдвигов и поворотов не возбраняется принять всего из двух. Это узкий ромб (36, 144) и просторный ромб (72, 108), показанные особняком на рисунке 3. Длина сторон каждого из ромбов равна 1. Это замощение не является периодическим оно, явно, не переходит в себя ни при каких сдвигах. Однако оно обладает неким важным свойством, которое приближает его к периодическим замощениям и заставляет величать его квазипериодическим. Дело в том, что любая конечная количество квазипериодического замощения встречается во всем замощении бесчисленное море раз.

Стоит подметить, что это замощение обладает осью пятого порядка (переходит в себя при повороте на уголок 72 кругом некоторой точки), в то время как таких осей у периодических замощений не существует. Другое квазипериодическое замощение плоскости, построенное Пенроузом, приведено описывается дальше. Вся плоскость покрыта четырьмя многоугольниками специального вида. Это звездочка, ромб, точный пятиугольник и бумажный кораблик.

Для полного понимания природы квазипериодического замощения плоскости необходимо ввести понятия инфляции и дефляции. Каждый из показанных выше трех примеров квазипериодического замощения это покрытие плоскости с помощью сдвигов и поворотов конечного количества фигур. Это покрытие не переходит в себя ни при каких сдвигах, любая конечная доля покрытия встречается во всем покрытии бесчисленное уймище раз, притом, в равной мере часто по всей плоскости.

Замощения, описанные выше, обладают некоторым специальным свойством, которое Пенроуз назвал инфляцией. Изучение этого свойства позволяет осмыслить в структуре этих покрытий. Более того, инфляцию разрешено применять для построения узоров Пенроуза.

Наиболее наглядным образом молено проиллюстрировать инфляцию на примере треугольников Робинсона. Треугольники Робинсона это два равнобедренных треугольника P и Q с углами (36, 72, 72) и (108, 36, 36) сообразно. Эти треугольники не возбраняется разрезать на меньшие, так, чтобы всякий из новых (меньших) треугольников был подобен одному из исходных. Получается, что с помощью этого свойства не возбраняется замостить сколь угодно большую или малую площадь. Это качество называется дефляцией. Обратное преобразование склеивание называется инфляцией.

Исследуем больше детально работы Мориса Эшера на предмет описанных выше математических закономерностей. Эшер интересовался всеми видами мозаик регулярными и нерегулярными (периодическими и квазипериодическими) а кроме того ввел личный облик, тот, что назвал метаморфозами, где фигуры изменяются и взаимодействуют приятель с другом, а иной раз изменяют и саму плоскость. Этот внешность мозаик был описан в предыдущей главе.

Интересоваться мозаиками Эшер начал в 1936 году во время путешествия по Испании. Он провел немало времени в Альгамбре, зарисовывая арабские мозаики, и потом сказал, что это было для него богатейшим источником вдохновения. Позже в своем эссе о мозаиках Эшер написал:

В математических работах регулярное разбиение плоскости рассматривается теоретически Значит ли это, что данный вопросительный мотив является сугубо математическим? Математики открыли ворота ведущую в иной мир, но сами зайти в тот самый мир не решились. Их больше интересует тракт, на котором стоит ворота, чем садик, лежащий за ней.

После того, как мы разобрались в способах создания периодических и квазипериодических замощений мы можем допустить, каким образом Морис Эшер создавал свои мозаики.

При подробном рассмотрении и изучении мозаик Эшера разрешается допустить, что художник пользовался следующим шибко интересным, но в то же время простым способом. Для примера рассмотрим мозаику 35См. Приложение, симметрия. Нетрудно заприметить, что шесть животных образуют какую- то измененную, но весьма знакомую нам фигуру справедливый шестиугольник. Мы предполагаем, что Эшер при создании этой гравюры делал следующие. Намечал точный шестиугольник (известно, что эту фигуру разрешено применять при создании периодической мозаики). После этого он искривлял три смежные стороны шестиугольника, придавая им потребный контур и, с помощью параллельного переноса, отображал эти стороны на противолежащие. Таким образом, мастер добивался того, что мозаику всё ещё позволительно было собрать из полученной фигуры. После этого он изменял фигуру изнутри. Художник разбивал на шесть равных треугольников. В каждом треугольнике были изменены боковые ребра таким образом, что в сочетании с измененной стороной шестиугольника (основанием треугольника), они образовывали контур необходимого животного. В нашем случае получились рыбки. Применив технология, описанный выше, он получал готовое к печати изображение. В подтверждение справедливости вышеописанного способа позволительно привести нечеткие линии предварительной разметки, сохранившиеся на некоторых отпечатках гравюр мастера. Эти линии в точности повторяют рисунок, тот, что должен удаться при выполнении первых этапов предполагаемого нами способа.

Руководствуясь вышеизложенными соображениями, мы можем поделить весь массив мозаичных работ на два фундаментальных класса. Первый периодические работы и второй квазипериодические. Все отличительные особенности периодической работы изложены выше. Обобщая их разрешено выделить следующие основные отличия: симметрия, вероятность инфляции, вероятность разобрать первичную геометрическую фигуру. Для больше подробной классификации таких работ мы предлагаем поделить их по признаку первичной геометрической фигуры. Например, гравюры 15, 2, 31, 33 имеют в своей основе ромб. В также время гравюры 1, 10, 15, 18 имеют в своей основе параллелограмм. И третья основная фигура, выделенная нами, в гравюрах Мориса Эшера справедливый шестиугольник. Яркими представителями этого подкласса являются гравюры 12, 13, 16, 17. Для каждой гравюры из описанных подклассов существует своя отличительная черта. Эта черта- существование осей симметрии. Для каждой фигуры существует свой облик симметрии. Этот облик определяется количеством осей симметрии. Например, в гравюре 22 очевидно просматриваются три оси симметрии.

Вторая количество этой главы будет посвящена только квазипериодическим замощениям плоскости в работах М. К. Эшера. В начале главы были описаны основные отличия квазипериодического замощения от периодического. Основная сложность в классификации таких гравюр содержится в том, что не всю дорогу быть может установить первоначальную геометрическую структуру мозаики. Однако все основные признаки квазипериодического замощения видны с первого взгляда. Можно допустить, что эти гравюры не являются в полной мере примерами квазипериодического замощения плоскости. Нередко мастер добавляет к математическим закономерностям авторские, логические и эстетические.

В категорию "квазипериодических мозаик" нами были включены всего две работы: "Мозаика I"(1951)"(34)- меццо-тинто и "Мозаика II"(1957) (48) - литография. Интересным кажется тот факт, что первая из работ это последняя гравюра меццо-тинто, которую выполнил автор. Два вышеназванных отпечатка изображают стилизованные фигуры, ни в коей мере не тождественные приятель другу. Тем не менее, по сути дела не принадлежа к группе квазипериодического замощения плоскости, они включены в нее в силу того что, что их поверхности заполнены сплошь, без пробелов. Более того, такие гравюры нельзя исполнить без долгих лет упражнений в периодическом замощении плоскости. Узнавание в компонентах реальных объектов играет тут больше важную образ. Единственным оправданием существования гравюр является бескорыстное удовольствие художника этой трудной игрой.

В гравюре "Мозаика I"(34) упорядоченность построения состоит в том, что по каждый горизонтальной и вертикальной оси прямоугольника в шахматном порядке чередуются три светлые и три темные фигуры. За исключением бордюрных форм, каждая белая фигура окружена четырьмя черными и каждая черная - четырьмя белыми. Итого: 36 фигур - 18 белых и 18 черных. Ни единственный из изображенных на гравюре объектов не повторяется. Этот факт в немного раз усложняет ход создания эдакий работы.

В гравюре Мозаика II(48) единственную черту упорядоченности, которую разрешено пометить, представляет сплошь заполненная архитектура прямоугольной поверхности. Вэтого немного фигур внутри прямоугольника окружены четырьмя другими, две примыкают к лягушке, три к гитаре, пять- к петуху и шесть- к страусу (если это страус). Подведение итога потребует тщательного подсчета.

Изучив значительную доля работ Мориса Эшера, мы сделали соответствующие выводы о природе его таланта и предположили схема, с помощью которого позволительно было творить такие гравюры. Увы, но сам художник ни при каких обстоятельствах не раскрывал секреты своего мастерства. Однако в его творчестве есть весь массив гравюр, названный им Симметрия. Гравюры, входящие в состав этого массива и легли в основу нашего исследования. Сам Морис Эшер, как многие гении и до и следом него, утверждал: Все мои произведения это игры. Серьезные игры. Однако в этих играх математики всего мира вот уже немного десятилетий рассматривают стопроцентно серьёзные, материальные доказательства идей, созданных с помощью только математического аппарата.

Так же читайте биографии известных людей:

Морис Шевалье Maurice Chevalier

Морис Шевалье - известный французский киноактёр и певец. Родился 12 сентября 1888 года.В качестве актера кино Морис Шевалье известен по ролям в..
читать далее →

Морис Бежар Maurice Bejart

Обычно зритель восхищается искусством актера, исполнителя или танцовщика. Но он редко помнит имена тех, кто создал для него сказочное зрелище..
читать далее →

Морис Метерлинк Moris Maeterlinck

Бельгийский драматург и эссеист Морис Полидор Мари Бернар Метерлинк родился в 1862 г. в Генте, в зажиточной фламандской семье.
читать далее →

Морис Грин Moris Green

Его привязанность к спринту пришла от брата, который бегал 100 и 200 метров. Он трепетал перед братом, бившим многочисленные рекорды на обоих..
читать далее →

Ваши комментарии

добавить комментарий